度量空间的定义及几个例子

2019年09月05日

度量空间的定义 #

度量是集合中衡量两个元素距离的函数, 有了度量我们就可以定义拓扑定义极限定义连续, 在数学分析上有关连续性的结论都可以直接推广到度量空间上.

度量空间的严格定义如下: 给定集合\(X\), 设\(x, y, z\in X\). 如果有度量函数\(d:X\times X\to \mathbb{R}\cup\{0\}\), 并且满足以下三条公理:

(对称性) \(d(x, y)=d(y, x)\),
(正则性) \(d(x, y)=0\)当且仅当\(x=y\),
(三角不等式) \(d(x, y) + d(y, z)\geq d(x, z)\),

则称\((X, d)\)为度量空间.

度量空间的例子 #

泛函分析中我们关心函数空间的性质, 所以下面的例子大多是度量函数空间.

欧式空间\(\mathbb{R}^d\)与欧式距离 #

欧式空间大家比较熟悉. 令\(x = (x_1, x_2, \dotsc x_d)\), \(x = (y_1, y_2, \dotsc y_d)\), 则欧式距离

\[d(x, y)\doteq \sum_1^d(x_i-y_i)^2,\]

很容易验证欧式距离满足度量三公理, 因此欧式空间带上标准欧式距离为度量空间. 事实上欧氏距离可以由内积导出, 因此该空间其实具有比一般度量空间更好的性质, 是内积空间.

连续函数空间\(C[a, b]\) #

设\(C[a, b]\)为闭区间\([a, b]\)上连续函数全体组成的集合. 令\(x, y\in C[a, b]\), 定义

\[d_\infty(x, y)\doteq \max_{a\leq t\leq b}\left\vert x(t)-y(t)\right\vert.\]

同样很容易验证\(d_\infty\)满足度量三公理, 因此\((C[a, b], d_\infty)\)为度量空间.

在\(C[a, b]\)上还可定义以下\(p\)度量

\[d_p(x, y)\doteq \left(\int_a^b\left\vert x(t)-y(t)\right\vert^p\mathrm{d}t\right)^{1/p},\]

其中最外层取\(1/p\)次方的目的是满足范数的齐次性公理, 分析学得扎实的同学可以利用Minkovski不等式证明\(d_p\)也满足度量三公理, 同时该度量可以由范数导出, 为赋范空间. 特别地, 当\(p=2\)时, \(d_p\)可以由内积导出.

实数列空间\(s\) #

设\(s\)为实数列全体构成的集合, 由于实数列也可看作从\(\mathbb{N}\)到\(\mathbb{R}\)的映射, 所以\(s\)也可视为函数空间. 令\(x=(x_1, x_2, \dotsc, x_n, \dotsc)\), \(y=(y_1, y_2, \dotsc, y_n, \dotsc)\), 定义

\[d(x, y)\doteq\sum_{n=1}^\infty 2^{-n}\frac{\left\vert x_n-y_n\right\vert}{1+\left\vert x_n-y_n\right\vert},\]

其中\(2^{-n}\)为收敛因子, 保证\(d(x, y)\)得到的结果一定是非负实数. 很容易验证\(d\)满足度量第一第二公理, 接下来我们来验证三角不等式.

设\(z=(z_1, z_2, \dotsc, z_n, \dotsc)\), 有

\[\begin{aligned} 1-\frac{1}{1+\left\vert x_n-y_n\right\vert}&\leq 1-\frac{1}{1+\left\vert x_n-z_n\right\vert+\left\vert y_n-z_n\right\vert}\\ &= \frac{\left\vert x_n-z_n\right\vert}{1+\left\vert x_n-z_n\right\vert+\left\vert y_n-z_n\right\vert} + \frac{\left\vert y_n-z_n\right\vert}{1+\left\vert x_n-z_n\right\vert+\left\vert y_n-z_n\right\vert}\\ &\leq \frac{\left\vert x_n-z_n\right\vert}{1+\left\vert x_n-z_n\right\vert} + \frac{\left\vert y_n-z_n\right\vert}{1+\left\vert y_n-z_n\right\vert}\\ &= \left(1-\frac{1}{1+\left\vert x_n-z_n\right\vert}\right)+\left(1-\frac{1}{1+\left\vert y_n-z_n\right\vert}\right), \end{aligned}\]

代入\(d\)级数的每一项即可得证三角不等式, 于是\((s, d)\)为度量空间.

可测函数空间\(S\) #

设\(E\)为测度有限的集合, \(S\)为\(E\)上Lebesgue可积函数全体构成的集合. 令\(x, y\in S\), 类似于\(s\)空间, 我们定义

\[d(x, y)\doteq\int_E\frac{\left\vert x_n-y_n\right\vert}{1+\left\vert x_n-y_n\right\vert}\mathrm{d}t,\]

我们可以用与\(s\)空间相同的办法证明\(d\)满足度量三公理, 于是\((S, d)\)为度量空间.

离散空间\(X\) #

设\(D\)为非空集合, \(x, y\in D\), 定义

\[d(x, y)\doteq \begin{cases} 0, &x=y,\\ 1, &x\neq y, \end{cases}\]

不难验证\(d\)是度量, 于是\((X, d)\)是度量空间, 称为离散空间.

度量空间中的收敛 #

定义 #

有了度量空间我们就可以定义极限与收敛的概念: 设\((X, d)\)为度量空间, \(\{x_n\}\)为\(X\)中一序列, \(x\in X\), 如果对任意\(\varepsilon>0\), 存在整数\(N>0\), 使得对于任意的整数\(n>N\), 都有\(d(x_n, x)<\varepsilon\), 那么称序列\(\{x_n\}\)的极限为\(x\), 也称序列\(\{x_n\}\)收敛于\(x\).

例子 #

现在我们来看一看之前提到的度量空间中的收敛都是什么样子的.

连续函数空间\((C[a, b], d_\infty)\)的收敛 #

当度量取最大值度量\(d_\infty\)时, 该空间的收敛就是数学分析中我们熟悉的一致收敛. 因为一致收敛保函数连续性, 所以度量空间\((C[a, b], d_\infty)\)是完备的.

可测函数空间\((S, d)\)的收敛 #

可测函数空间\((S, d)\)中的收敛与依测度收敛等价. 依测度收敛定义如下: 设\(\{x_n\}\)为可测函数序列, \(x\in S\), 如果对于任意的\(\varepsilon>0\), 都有

\[\lim_{n\to\infty}m\{t\in E:\left\vert x_n(t)-x(t)\right\vert\geq\varepsilon\}=0,\]

则称序列\(\{x_n\}\)依测度收敛到\(x\). 下面给出两种收敛等价的证明:

设\(\{x_n\}\)依测度收敛到\(x\):

对任意的\(\varepsilon>0\), 存在\(N>0\), 使得当\(n>N\)时, 有\(m\{t\in E:\left\vert x_n(t)-x(t)\right\vert\geq\varepsilon\}<\varepsilon\), 于是
\[\begin{aligned} \int_E\frac{\left\vert x_n-x\right\vert}{1+\left\vert x_n-x\right\vert}\mathrm{d}t &= \left(\int_{\left\vert x_n-x\right\vert<\varepsilon}+\int_{\left\vert x_n-x\right\vert\geq\varepsilon}\right)\frac{\left\vert x_n-x\right\vert}{1+\left\vert x_n-x\right\vert}\mathrm{d}t\\ \leq\varepsilon\cdot m(E)+1\cdot\varepsilon \end{aligned}\]
故\(\{x_n\}\)依度量\(d\)收敛到\(x\).
设\(\{x_n\}\)依度量\(d\)收敛到\(x\):

根据盐水不等式, 有
\[\begin{aligned} d(x_n, x) &\geq\int_{\left\vert x_n-x\right\vert\geq\varepsilon}\frac{\left\vert x_n-x\right\vert}{1+\left\vert x_n-x\right\vert}\mathrm{d}t\\ &\geq\int_{\left\vert x_n-x\right\vert\geq\varepsilon}\frac{\varepsilon}{1+\varepsilon}\mathrm{d}t\\ &= \frac{\varepsilon}{1+\varepsilon}m\{\left\vert x_n-x\right\vert\geq\varepsilon\}, \end{aligned}\]
因为\(d(x_n, x)\to 0\), 根据夹逼原理, 有
\[\frac{\varepsilon}{1+\varepsilon}m\{\left\vert x_n-x\right\vert\geq\varepsilon\}\to 0,\]
即\(m\{\left\vert x_n-x\right\vert\geq\varepsilon\}\to 0\), 证毕.

不同度量可以导出相同的收敛 #

同一种收敛可以由不同的度量导出, 这是由可度量拓扑空间的度量不唯一造成的, 下面我们将研究两个例子: 欧式空间\(\mathbb{R}^d\)和\(S\)空间.

欧式空间\(\mathbb{R}^d\)的不同度量 #

欧式空间除了常见的欧式度量及\(p\)度量之外, 还有一种度量

\[d(x, y)\doteq\min\{\left\vert\left\vert x-y\right\vert\right\vert_2, 1\}.\]

在这种度量下, \((\mathbb{R}^d, d)\)的子集全部都为有界集, 从中很容易可以找到是有界闭集但不是紧集的例子.

可测函数空间\(S\)的不同度量 #

上文中我们证明了空间\((S, d)\)中对应的收敛为依测度收敛. 参考Wikipedia, 我们找到了另外两种”显著”与\(d\)不同的度量, 也对应于依测度收敛, 其中它们满足度量三公理我们在此就不证明了[clarification needed].

度量\(\displaystyle d_1(f, g)\doteq \inf_{\delta>0}(m\{\left\vert f-g\right\vert\geq\delta\}+\delta)\) #

设\(\{x_n\}\)依测度收敛到\(x\):

则\(m(\left\vert x_n-x\right\vert\geq\varepsilon)\to 0\), 于是对任意的\(\varepsilon>0\), 存在\(N>0\), 使得\(m\left\{\left\vert x_n-x\right\vert\geq\varepsilon\right\}+\varepsilon \leq 2\varepsilon\), 故
\[d_2(x_n, x)=\inf_{\delta>0}(m\left\{\left\vert x_n-x\right\vert\geq\delta\right\}+\delta)\to 0.\]
设\(\{x_n\}\)依度量收敛到\(x\):

反证法, 如果\(\{x_n\}\)不依度量收敛到\(x\), 则存在\(\delta_0>0\), 存在\(\varepsilon_0>0\), 使得对任意的\(N>0\), 都存在\(n>N\)使得\(m(\left\vert x_n-x\right\vert\geq\delta_0)\geq\varepsilon_0\). 由此可得一列趋于无穷的\(n\), 记为\(\mathcal{N}\). 对于任意\(n\in\mathcal{N}\), 有
\[\begin{aligned} \inf_{\delta>0}(m\left\{\left\vert x_n-x\right\vert\geq\delta\right\}+\delta) &\geq\inf_{\delta>0}m\left\{\left\vert x_n-x\right\vert\geq\delta\right\}+\inf_{\delta>0}\delta\\ &\geq m\left\{\left\vert x_n-x\right\vert\geq\delta_0\right\}\\ &\geq\varepsilon_0 \end{aligned}\]
成立, 与\(\{x_n\}\)依度量收敛到\(x\)矛盾.

度量\(d_2(f, g)\doteq \int_E\min\{\left\vert f-g\right\vert, 1\}\mathrm{d}t\) #

设\(\{x_n\}\)依测度收敛到\(x\):

则\(\int_E\min\{\left\vert x_n-x\right\vert, 1\}\mathrm{d}t\to 0\). 因为对任意的\(0<\varepsilon<1\),
\[\begin{aligned} \varepsilon m\left\{\left\vert x_n-x\right\vert\geq\varepsilon\right\} &= \int_{\left\vert x_n-x\right\vert\geq\varepsilon}\varepsilon\mathrm{d}t\\ &\leq \int_E\min\{\left\vert x_n-x\right\vert, 1\}\mathrm{d}t\\ &\to 0 \text{ as }n\to\infty \end{aligned}\]
都成立, 因此\(m\left\{\left\vert x_n-x\right\vert\geq\varepsilon\right\}\to 0\)对任意的\(\varepsilon>0\)都成立, 即\(\{x_n\}\)依测度收敛到\(x\).
设\(\{x_n\}\)依度量收敛到\(x\):

则对任意的\(\varepsilon>0\), 存在\(N>0\), 使得对于任意的\(n>N\), 都有\(m\left\{\left\vert x_n-x\right\vert\geq\varepsilon\right\}\to 0\)成立. 由于
\[\begin{aligned} \int_E\min\{\left\vert x_n-x\right\vert, 1\}\mathrm{d}t &= \left(\int_{\left\vert x_n-x\right\vert\geq\varepsilon}+\int_{\left\vert x_n-x\right\vert<\varepsilon}\right)\min\{\left\vert x_n-x\right\vert, 1\}\mathrm{d}t\\ &\leq 1\cdot\varepsilon + \varepsilon m(E), \end{aligned}\]
故\(\{x_n\}\)依度量\(d\)收敛到\(x\). 证毕.

注记 #

上文提到了依测度收敛的概念, 在这里就回顾一下几乎处处收敛, 依\(L^1\)范数收敛和依测度收敛之间的关系.

除去几乎处处收敛或依\(L^1\)范数收敛能推出依测度收敛之外, 没有别的推出关系.
令\(\displaystyle x_n=\frac{1}{n}\chi_{[0, n]}\), 则序列\(\{x_n\}\)几乎处处收敛并依测度收敛到函数\(x=0\), 但不依\(L^1\)范数收敛到\(x\).
记\(I_{nm}=\left[\frac{1}{m}\sum_{1}^n\frac{1}{j}, \frac{1}{m}\sum_{1}^{n+1}\frac{1}{j}\right]\), 将\(I_{nm}\)排成一列, 记为\(I_k\), 定义\(x_k=\chi_{I_k}\), \(x=0\), 则序列\(\{x_k\}\)依测度收敛并依\(L^1\)范数收敛到\(x\), 但是不几乎处处收敛到\(x\).(Wikipedia中给出了一种不需要重排的构造, 思路大同小异)

问题 #

如何证明\(d_p\)是空间\(C[a, b]\)的度量?
可测函数空间\((S, d)\)完备吗? 这个空间的拓扑长什么样子呢?