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随机变量与分布函数的区别

概率论  应用随机过程  2020年07月28日
  1. Borel域F: 设Ω为一非空集合, 称为空间, 设F是由一些Ω的子集构成的非空集合, 如果F中的元素关于集合的补运算和集合的可列并(交)运算封闭, 则称F是空间Ω上的Borel域. 注意空集和全空间Ω一定属于F.
  2. 概率空间(Ω,F,P): 设F是空间Ω上的Borel域, 如果从F映到非负实数的函数P满足可列可加性并且全空间Ω的测度为1, 则称P概率测度, 并称(Ω,F,P)概率空间.
  3. 随机变量X: 设(Ω,F,P)为概率空间, 如果有从Ω映到广义实数R的函数X满足

    Borel可测性: 对于广义实数集上的任意一个Borel集B, 如果X1(B)F, 则称XBorel可测的, 也称XF可测的,

    并且X几乎处处取有限值, 则称X随机变量.

  4. 分布函数F: 从随机变量X可以导出一个分布函数F(x)=P(X1(,x]).

可以看出分布函数中忽略了X每个点取值, 而只关心取到某些值的点集的测度, 因此一个分布函数可以对应不同的随机变量.