随机变量与分布函数的区别

1. Borel域$\mathscr{F}$: 设$\Omega$为一非空集合, 称为空间, 设$\mathscr{F}$是由一些$\Omega$的子集构成的非空集合, 如果$\mathscr{F}$中的元素关于集合的补运算和集合的可列并(交)运算封闭, 则称$\mathscr{F}$是空间$\Omega$上的Borel域. 注意空集$\emptyset$和全空间$\Omega$一定属于$\mathscr{F}$.
2. 概率空间$(\Omega, \mathscr{F}, \mathscr{P})$: 设$\mathscr{F}$是空间$\Omega$上的Borel域, 如果从$\mathscr{F}$映到非负实数的函数$\mathscr{P}$满足可列可加性并且全空间$\Omega$的测度为1, 则称$\mathscr{P}$为概率测度, 并称$(\Omega, \mathscr{F}, \mathscr{P})$为概率空间.

3. 随机变量$X$: 设$(\Omega, \mathscr{F}, \mathscr{P})$为概率空间, 如果有从$\Omega$映到广义实数$\mathbb{R}^*$的函数$X$满足

   Borel可测性: 对于广义实数集上的任意一个Borel集$B$, 如果$X^{-1}(B)\in\mathscr{F}$, 则称$X$是Borel可测的, 也称$X$是$\mathscr{F}$可测的,

   并且$X$几乎处处取有限值, 则称$X$是随机变量.

4. 分布函数$F$: 从随机变量$X$可以导出一个分布函数$F(x)=\mathscr{P}\left(X^{-1}(-\infty, x]\right)$.

可以看出分布函数中忽略了$X$每个点取值, 而只关心取到某些值的点集的测度, 因此一个分布函数可以对应不同的随机变量.