随机变量与分布函数的区别

1. Borel域\(\mathscr{F}\): 设\(\Omega\)为一非空集合, 称为空间, 设\(\mathscr{F}\)是由一些\(\Omega\)的子集构成的非空集合, 如果\(\mathscr{F}\)中的元素关于集合的补运算和集合的可列并(交)运算封闭, 则称\(\mathscr{F}\)是空间\(\Omega\)上的Borel域. 注意空集\(\emptyset\)和全空间\(\Omega\)一定属于\(\mathscr{F}\).
2. 概率空间\((\Omega, \mathscr{F}, \mathscr{P})\): 设\(\mathscr{F}\)是空间\(\Omega\)上的Borel域, 如果从\(\mathscr{F}\)映到非负实数的函数\(\mathscr{P}\)满足可列可加性并且全空间\(\Omega\)的测度为1, 则称\(\mathscr{P}\)为概率测度, 并称\((\Omega, \mathscr{F}, \mathscr{P})\)为概率空间.

3. 随机变量\(X\): 设\((\Omega, \mathscr{F}, \mathscr{P})\)为概率空间, 如果有从\(\Omega\)映到广义实数\(\mathbb{R}^*\)的函数\(X\)满足

   Borel可测性: 对于广义实数集上的任意一个Borel集\(B\), 如果\(X^{-1}(B)\in\mathscr{F}\), 则称\(X\)是Borel可测的, 也称\(X\)是\(\mathscr{F}\)可测的,

   并且\(X\)几乎处处取有限值, 则称\(X\)是随机变量.

4. 分布函数\(F\): 从随机变量\(X\)可以导出一个分布函数\(F(x)=\mathscr{P}\left(X^{-1}(-\infty, x]\right)\).

可以看出分布函数中忽略了\(X\)每个点取值, 而只关心取到某些值的点集的测度, 因此一个分布函数可以对应不同的随机变量.