两道数列题与选择公理

两道数列题的叙述 #

第一道题来自高等数学作业, 叙述如下:

习题一 若\(x_n\geq 0\)是无界数列, 证明: 可以找到单调递增的子数列\(\{x_{n_k}\}\)使得\(x_{n_k}>k\).

第二道题来自数学分析课堂例题, 叙述如下:

习题二 设\(S\subseteq\mathbb{R}\)有界, 若\(\sup S=a\notin S\), 则存在严格递增数列\(\{x_n\}\subseteq S\)使得\(\lim_n x_n=a\).

这两道题有一个共同特点, 就是我们无法显式地整体地得到所需的数列, 只能将数列”选择”出来.

选择公理及常用弱化版本的叙述 #

选择公理(Axiom of Choice, \(\mathrm{AC}\)) 设\(X\)是由非空集合所构成的集族, 则存在定义在\(X\)上的映射\(f\), 使得\(f(A)\in A\). 用一阶逻辑的语言来说, 即为

\[\forall X\left[\varnothing\notin X\Rightarrow \left(\exists f: X\to \bigcup X\right)\left(\forall A\in X\right)\left(f(A)\in A\right)\right].\]

大部分分析中的证明需要用一定的选择, 但是不需要完全的选择公理(\(\mathrm{AC}\))那么强, 所以就有了\(\mathrm{AC}\)的弱化版本: Axiom of Dependent Choice 和 Axiom of Countable Choice.

Axiom of Dependent Choice (\(\mathrm{DC}\)) 设\(X\)为非空集合, \(R\)为\(X\)上的整二元关系, 那么存在\(X\)中序列\((x_n)_{n\in\mathbb{N}}\)使得\(x_nRx_{n+1}\)对于任意\(n\in\mathbb{N}\)都成立. 其中整二元关系是指对于任意\(a\in X\), 存在\(b\in X\)使得\(aRb\)成立.

公理\(\mathrm{DC}\)可以说是完美符合了上述两道习题的场景, 即通过一项一项互相相关地选择来获得数列. 我们很容易能构造出满足公理要求的二元关系, 从而得到我们想要的序列. 例如对于习题一, \(x_iRx_j\)即可定义为: \(i< j\), \(x_i< x_j\), 并且对任意的\(n\in\mathbb{N}\), 如果\(x_i>n\), 那么\(x_j>n+1\). 不过我认为上述两道习题甚至不需要\(\mathrm{DC}\)那么强, 只需要\(\mathrm{AC_\omega}\)即可.

可数选择公理 (Axiom of Countable Choice, \(\mathrm{AC_\omega}\)) 设\(X\)是由可列个非空集合所构成的集族, 则存在定义在\(X\)上的映射\(f\), 使得\(f(A)\in A\).

应用选择公理进行证明 #

事实上用\(\mathrm{AC_\omega}\)证明习题与证明\(\mathrm{AC}\)推出\(\mathrm{DC}\)所用的技巧十分类似, 都是先选择再分离, 所以我就只写其中的一个作为例子.

证明(\(\mathrm{AC}\Rightarrow\mathrm{DC}\)) 设\(X\)是非空集合, \(R\)是\(X\)上的整二元关系. 设\(a\in X\), 定义\(R(a)=\left\{b\middle\vert\ aRb\right\}\), 由\(R\)的整性得每个\(R(a)\)均非空, 故我们得到了集族\(\{R(a)\}_{a\in X}\). 根据选择公理, 存在映射\(f: X\to \bigcup_{a\in X} R(a)\subseteq X\)使得\(f(a)\in R(a)\)成立, 即\(aRf(a)\)成立. 再利用分离公理, 得到集合\(\left\{(n, x)\in\mathbb{N}\times X\middle\vert\ x=f^{n}(a)\right\}\)即为所求数列\(\{a, f(a), f^2(a), \dotsc, f^n(a), \dotsc\}\), 其中\(f^n\)表示映射的\(n\)次复合. 证毕.