拓扑的历史与发展

拓扑学这门学科由Poincare奠基, 它起源于对多面体点面棱个数的研究:

• Euler提出了如下断言: 对于\(\mathbb{R}^3\)中的封闭凸多面体, 若记顶点数为\(V\), 边数为\(E\), 面数为\(F\), 那么等式\(V-E+F=2\)恒成立.
• 1811年Cauchy给出了该命题的证明, 证明中隐含了如下观点: 空间中的凸多面体可以经过射影对应到单位球面上. \(V-E+F=2\)实际上是单位球面的性质, 即单位球面的Euler示性数为2.
• Poincare为研究此问题, 引入了新的概念和工具, 并证明了\(n\)维多面体的Euler-Poincare定理[CITATION NEEDED].

拓扑学的主要研究对象可由当时几位大数学家的思想中窥探到. Leibniz曾说:

我相信我们缺少另一门分析的学问, 它是真正几何的和线性的, 它能直接地表示位置, 如同代数表示量一样.

Mobius提出了初等关系的理论, 其中含有用邻域的对应关系来看几何图形之间关系的思想. 最终拓扑学的概念产生了:

拓扑所研究的是几何图形的那样一些性质, 它们在图形被弯曲, 拉大或缩小等任意的变形下保持不变.

可见拓扑学研究几何图形及几何图形之间变换的不变量, 换言之就是拓扑空间和拓扑不变量. 其中拓扑不变量包含同胚不变量, 同伦不变量, 微分同胚不变量等等. 简单的拓扑不变量有代数拓扑中的Euler示性数, 基本群和同调群; 点集拓扑中的连通性和紧性.

拓扑学分为点集拓扑学和代数拓扑学, 虽然在历史上代数拓扑学在先, 但是点集拓扑学较简单也较基础, 教学中常常放在前面. 点集拓扑学实际上就是抽象分析学, 在抽象空间下研究开集, 极限和连续变换. 而代数拓扑学引入了抽象代数的语言和工具. 拓扑学的发展如下:

• 分析的抽象化也就是拓扑学的进一步发展源自于对复杂几何对象的研究. 在对复变函数的研究中, Riemann面的提出让人们意识到哪怕只是复变函数也需要更复杂的几何对象, 也就是函数论的发展推动了几何学, 拓扑学的发展.
• 1915年Einstein将Riemann几何应用在广义相对论中, 提出引力是时空弯曲的结果, 引起世界轰动并大大推动了拓扑学的发展.
• 20世纪50年代Milnor提出了微分拓扑, 研究微分流形的拓扑学. 在拓扑空间上附加微分结构, 就可以在上面做微积分, 在数学分析中能得到的结论基本都有类似的结果.
• 1970年至今及和拓扑一直是拓扑学最热门的分支.
• 20世纪90年代量子拓扑提出.